摘要：基于广义相对论构建了一种理论模型，用于解释嘉然的年龄看起来远小于其他几位A-SOUL成员的观测事实。我们根据嘉然拥有操控引力的超能力的事实，合理假设A-SOUL成员们所生活的枝江其实是一个由嘉然创造出来的大质量黑洞。通过考虑黑洞视界外部引力场中的钟慢效应，我们导出了嘉然的固有年龄与其身高的数学关系。结果表明，如果嘉然的身高足够矮，那么她的固有年龄将会远小于A-SOUL的其他几位成员。

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一、引言

嘉然 [1] 是虚拟偶像团体A-SOUL [2] 的成员之一，又名Diana，bilibili ID为“嘉然今天吃什么”。嘉然曾获bilibili 2021百大UP主、2021年度虚拟UP主，截至2022年3月7日拥有1.63万舰长 [3] ，是目前整个可观测宇宙中舰长数量最多的UP主。

官方设定显示 [4] ，A-SOUL五人组的年龄相差不大，官方年龄都在20岁左右。但长期以来的观测却显示，嘉然实际表现出的年龄要远小于其他四人，她看上去可能最多也只有15岁。也就是说，嘉然的官方年龄与实际观测到的年龄之间存在巨大的差异，这常被称为 Diana Age Tension，或者嘉然年龄之谜。对于这一矛盾，A-SOUL官方以及嘉然本人并没有给出合理的答复。

虽然嘉然本人曾在一次直播中声称自己的真实年龄只有三岁，且这个三岁与官方年龄的设定并不矛盾 [5] ，但这显然不是对年龄之谜的合理解答。一来，三岁这个数值太小，远小于实际观测到的年龄。二来，即使嘉然拥有一个比官方年龄小一些的实际年龄，她也没有解释为什么会小一些。因此，在本项研究发表之前，嘉然的年龄之谜没有任何一种合理的解决方案。

本文将第一次给出嘉然年龄之谜的潜在的解决方案。我们从广义相对论出发，考虑嘉然的年龄受到引力场中钟慢效应的影响，并以此构建模型推导出了嘉然年龄的表达式。本文接下来的内容安排如下：第二节讨论广义相对论相关的理论基础；第三节构建了一个嘉然-枝江黑洞的toy model，给出了固定身高条件下的嘉然年龄的表达式；第四节构建了更加普遍的时变身高的理论模型，给出了嘉然年龄的实际观测值对嘉然身高增长速率的限制。最后一节我们做出一些讨论并对研究的结论进行总结。

二、理论基础

在广义相对论中，物质之间的万有引力被描述为时空弯曲所展现出的一种几何效应。而所谓的几何效应，其实就是时间空间度量方式（时空度规）的改变。其中，空间度量方式的改变体现为粒子在引力场中的运动不再走直线。而时间度量方式的改变就体现为引力场中时间流逝速度的改变。本节介绍广义相对论中的一些有用的结论，这些内容可以在许多广义相对论的教科书中被找到，例如 [6] [7] [8] .

2.1 史瓦西度规与黑洞

一个静态球对称天体外部的时空几何被史瓦西（Schwarzschild）度规所描述：其中c为光速，G为引力常数，M为天体质量，r为到天体中心的坐标距离。史瓦西度规的时空弯曲程度可以由曲率张量的缩并描述 [9] ：可以看到，对于给定的质量为M的天体，离它的中心越近，时空弯曲的程度越大，或者说引力越大。而如果天体是一个质点，那么当  时就会出现时空曲率无穷大的情况。这种情况被称为时空奇点。

由史瓦西度规还可以看到，当  且天体的半径小于这个r值时，度规的11分量，即  前的系数就会无穷大。这意味着  对应的那个球面是一个事件视界，球面内部的时空弯曲程度如此剧烈，以至于连光（或光速运动的粒子）都无法克服引力从视界内逃逸至视界外。我们把这种存在事件视界的天体称为黑洞，而  被称为黑洞的视界半径，或史瓦西半径。

2.2 引力场中的钟慢效应

弯曲时空（有引力场）和平直时空（没有引力场）相比，一个显著的可观测效应就是引力场中时间的流逝速度会发生改变。我们把处于引力场中的物体实际经历的时间定义为固有时间  ，而无引力场时的时间则为坐标时间  ，二者的关系为：其中  为时空度规的00分量。对于前面所说的史瓦西度规，可以读出：所以处于静态球对称天体外部某处的物体的固有时间为：可以看到，天体的质量越大，离天体越近，时间流逝越慢。这就是引力场中的钟慢效应。（这里推荐观看电影《星际穿越》，更直观地理解钟慢效应）

三、嘉然-枝江黑洞模型

在构建具体的理论模型之前，让我们注意到一个基本的事实——嘉然拥有操控引力的超能力。这一结论不久之前由枝江大学物理系的一项研究得到 [10]。不过在他们的研究中只考虑了牛顿引力，并没有考虑广义相对论的效应。本节我们只构建一个toy model，用于表达清楚其中的物理思想。更普遍的模型我们放在下一节引入。

3.1 模型假设

我们的toy model包含三个基本假设：（1）A-SOUL的成员们所在的虚拟城市枝江其实是一个由嘉然的超能力创造出来的黑洞。这个假设相当朴素，比如嘉然完全可以通过给时空中的物质场提供一个足够大的密度扰动，或者通过宇宙相变导致的宇宙弦来产生黑洞 [11] [12] 。总之，会者不难。（2）A-SOUL的成员们所处的位置是黑洞的视界附近，这样可以让引力效应更加显著，也可以简化我们之后的计算。（3）成员们出生之后身高保持不变，这同样是为了简化计算。

图1给出了我们的嘉然-枝江黑洞模型的更形象的描述。其中，设嘉然（左）的固有年龄为  ，身高固定为  ，设其他成员，如贝拉（右），的固有年龄为  ，身高固定为  ，枝江黑洞的质量设为  . 众所周知，嘉然的身高比其他几位成员要矮许多，因此她的头部与黑洞视界之间的距离要比其他成员更近。根据上一节中给出的钟慢效应公式，离黑洞视界越近的地方时间流逝速度越慢。所以，嘉然头部的时间流逝速度要比其他成员的慢许多。也就是说，假如大家同时出生，其他几位成员的头部经历了20年的时间，那么嘉然头部所经历的时间就会远少于20年。这就是嘉然看起来远比其他几位年龄小的原因。方便起见，接下来如不加特殊说明，“年龄”一词均指“头部固有年龄”。

3.2 嘉然的固有年龄

基于图1所示的模型，从钟慢效应公式出发很容易推导出嘉然固有年龄的表达式：我们设其他成员的身高固定为  米 ，年龄设为  岁 ，来看一下嘉然的固有年龄与枝江黑洞的质量  ，以及自己的身高  的关系。可以看到，如果枝江黑洞的质量很小，那么嘉然的固有年龄将与她的身高没太大关系，她会和其他成员一样都是在20岁左右。然而，如果枝江黑洞的质量大于  ，大约是太阳质量的1/20000，那么嘉然的身高就会对她的固有年龄造成非常大的影响。身高越低，则嘉然的固有年龄越小。而当枝江黑洞的质量差不多大于一个太阳质量时，嘉然的固有年龄与她的身高的数学关系就会稳定下来，不再随枝江黑洞的质量改变。

3.3 黑洞超大质量极限

我们对前面的表达式在超大质量极限下的“黑洞质量无关性”非常感兴趣。这个结论也是易于推导的：可见，在超大质量极限下，嘉然与其他成员的固有年龄之比正比于她们身高之比的1/2次方。我们将这一结果呈现在图3中，可以看到如果嘉然的身高如传说中那样只有一米吧 [13] ，那么在我们这个理论模型中她的头部固有年龄就只有15岁左右。这非常符合嘉然年龄的实际观测值。可见，如果枝江黑洞的质量足够大，且嘉然的身高只有一米甚至更矮，那么引力场中的钟慢效应将会使嘉然的固有年龄远小于其他几位成员。

四、包含时变身高的普遍模型

上一节讨论的是toy model，采用了三个基本假设。现在我们把固定身高假设去掉，考虑一个更加普遍的模型。也就是说，考虑图1中成员们的身高是随各自的固有时间慢慢长高的（这里的固有时间依然是指头部固有时间），比如设身高在15岁之前随时间线性增长：其中，每位成员的身高增长速率 k 各不相同。我们设成员们在15岁之后身高停止增长，固定为15岁时各自的身高 H . 把以上的  代入第二节的钟慢效应公式可以得到：继续考虑的超大质量黑洞极限，解这个方程可以得到：其中 T 为成员现在各自的固有年龄。

由于嘉然的坐标时间  与其他成员的坐标时间  是相等的，那么就可以通过以上的式子去计算嘉然的固有年龄。我们依然设其他成员的现在的固有年龄为  岁 ，目前的身高为  米 （即其他成员的身高增长率为  厘米/年 ），可以计算出嘉然现在的固有年龄  与她身高的增长率  的关系为：其中，  .

以上的计算结果被展示在了图4当中。可以看到，如果实际观测将嘉然的固有年龄限定在15岁以下，那么在我们这个线性增高模型当中，嘉然每年的身高增长就不能超过2.4厘米。这意味着嘉然现在的身高被限定在了  米。还可以看到，在身高增长速率趋于0的极限下，嘉然的最低固有年龄可以低至13岁，这就是我们这个模型当中嘉然年龄的下限。

五、讨论与结论

最后进行一些总结和讨论。我们基于广义相对论的钟慢效应，假设枝江是嘉然用超能力制造出来的质量足够大的黑洞，推导计算了嘉然的实际固有年龄。在固定身高的条件下，如果枝江黑洞的质量足够大，那么当嘉然的身高低于1米时，她的头部固有年龄将会小于15岁。而在身高线性增长的条件下，同样考虑黑洞超大质量极限，如果嘉然的身高增长速率低于2.4厘米/年，那么她的头部固有年龄也会小于15岁。这表明我们的模型非常成功地解释了为什么嘉然看上去远比其他几位A-SOUL成员年轻。也就是说，官方给出的嘉然的年龄并没有考虑广义相对论的修正，所以才和嘉然自身的固有年龄相差巨大。

也许你会问，在这个模型当中，嘉然的脚的年龄将会远比其头部年龄要小，这合理吗？这当然合理啊，不然为什么gn天天说嘉然的jio小小的呢？显然，这也是一种广义相对论效应。总之，这个理论模型是目前唯一一个能够解释 Diana Age Tension 的模型，它也许不成熟，但却是开创性的。感兴趣的读者可以继续follow完善这项研究，A-SOUL世界中也还有许多其他的有趣的物理问题等待我们去探索，让我们继续加油吧。

致谢

感谢中国科学院大学每个月给我博士生补助，客观上为这项研究提供了Fund. 感谢阿b的小伙伴们在我视频的评论区参与讨论，为这项研究提供了一定的思路。感谢阿z的小伙伴们长期以来对我的支持。

参考文献

[1] bilibili-嘉然主页[2] bilibili-A-SOUL主页[3] bilibili-虚拟观测日报【3月6日】[4] bilibili-【A-SOUL】成员小档案1.0[5] bilibili-【嘉然】我今天三岁啦！！！【直播】[6] 赵峥、刘文彪 《广义相对论基础》[7] S. 温伯格 《引力和宇宙学》[8] 梁灿彬、周彬 《微分几何入门与广义相对论（上册）》[9] 陈斌 《广义相对论》P300[10] bilibili-嘉然的超能力是...？【直播剪辑】[11] B.J. Carr, and S.W. Hawking, Black Holes in the Early Universe. Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 168 (1974) 399-415.[12] S.W. Hawking, Black Holes from Cosmic Strings. Phys.Lett.B 231 (1989) 237-239.[13] bilibili-嘉然 ：我的身高优势也太明显了吧哈哈哈哈…